Fähigkeit zum mathematischen Denken - eine der edelsten menschlichen Fähigkeiten.
irischer Dramatiker Bernard Shaw
Reiher-Formel
In der Schulmathematik ist die Heron-Formel sehr beliebt, mit deren Anwendung Sie die Fläche eines Dreiecks entlang seiner drei Seiten berechnen können. Gleichzeitig wissen nur wenige Schüler, dass es eine ähnliche Formel zur Berechnung der Fläche von in einen Kreis eingeschriebenen Vierecken gibt. Eine solche Formel wird Brahmagupta-Formel genannt. Es gibt auch eine wenig bekannte Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch seine drei Höhen, deren Ableitung aus der Herons-Formel folgt.
Berechnen der Fläche von Dreiecken
Lassen Sie ein Dreieck ein Partys und ... Dann ist der folgende Satz wahr (Herons Formel).
Satz 1.
wo .
Nachweisen. Bei der Ableitung von Formel (1) verwenden wir die bekannten Geome tric Formeln
, (2)
. (3)
Aus den Formeln (2) und (3) erhalten wir und. Seit damals
. (4)
Wenn wir bezeichnen dann impliziert Gleichheit (4) Formel (1). Der Satz ist bewiesen.
Betrachten wir nun die Frage der Berechnung der Fläche eines Dreiecks bereitgestellt , dass ihre drei Höhen bekannt sind, und .
Satz 2. Die Fläche wird nach der Formel berechnet
. (5)
Nachweisen. Seitdem und dann
In diesem Fall erhalten wir aus Formel (1)
oder
Dies impliziert Formel (5). Der Satz ist bewiesen.
Berechnen der Fläche der Vierecke
Betrachten Sie eine Verallgemeinerung der Heron-Formel auf den Fall der Berechnung der Fläche von Vierecken. Es sei jedoch gleich darauf hingewiesen, dass eine solche Verallgemeinerung nur für in einen Kreis einbeschriebene Vierecke möglich ist.
Lass das Viereck hat Seiten, und.
Wenn ist ein Viereck, in einen Kreis eingeschrieben, dann gilt Satz 3 (Brahmaguptas Formel).
Satz 3. Platz berechnet nach der Formel
wo .
Nachweisen. Zeichne eine Diagonale in das Viereck und erhalte zwei Dreiecke und. Wenden wir auf diese Dreiecke den Kosinussatz an, der der Formel (3) entspricht, dann können wir schreiben:
Da das Viereck in einen Kreis einbeschrieben ist, ist die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich, d.h. ...
Da oder, dann erhalten wir aus (7)
Oder
. (8)
Seit damals. Allerdings und deshalb
Denn aus den Formeln (8) und (9) folgt
Wenn wir setzen, dann erhalten wir daraus Formel (6). Der Satz ist bewiesen.
Wenn das eingeschriebene Viereckist beides beschrieben, dann wird Formel (6) stark vereinfacht.
Satz 4. Die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis eingeschrieben und um einen anderen umschrieben ist, wird nach der Formel berechnet
. (10)
Nachweisen. Da ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben ist, gelten die Gleichungen
In diesem Fall lässt sich Formel (6) leicht in Formel (10) umwandeln. Der Satz ist bewiesen.
Betrachten wir nun Beispiele für Geometrieprobleme, deren Lösung auf der Grundlage der Anwendung der bewiesenen Theoreme erfolgt.
Beispiele für Problemlösungen
Beispiel 1. Bereich suchen, wenn .
Lösung. Da hier nach Satz 1 gilt
Antworten: .
Notiz, wenn die Seiten des Dreiecksirrationale Bedeutungen annehmen, dann seine Fläche berechnenunter Verwendung von Formel (1), allgemein , ist unwirksam. In diesem Fall empfiehlt es sich, die Formeln (2) und (3) direkt anzuwenden.
Beispiel 2. Finden Sie den Bereich, wenn, und.
Lösung. Unter Berücksichtigung der Formeln (2) und (3) erhalten wir
Da, dann bzw.
Antworten: .
Beispiel 3. Finden Sie den Bereich, wenn, und.
Lösung. Soweit,
dann folgt aus Satz 2 dass.
Antworten: .
Beispiel 4. Das Dreieck hat Seiten, und. Finden Sie und, wo sind die Radien des Umkreises bzw. des Innenkreises.
Lösung. Berechnen wir zunächst die Fläche. Denn dann erhalten wir aus Formel (1).
Es ist bekannt, dass und. Deshalb .
Beispiel 5. Finden Sie die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, wenn, und.
Lösung. Das folgt aus den Bedingungen des Beispiels. Dann erhalten wir nach Satz 3 .
Beispiel 6. Finden Sie die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks, dessen Seiten sind, und.
Lösung. Da und gilt Gleichheit im Viereck. Es ist jedoch bekannt, dass die Existenz einer solchen Gleichheit eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein Kreis in ein gegebenes Viereck eingeschrieben wird. In diesem Zusammenhang können Sie zur Berechnung der Fläche die Formel (10) verwenden, aus der sie folgt.
Zur selbstständigen und qualitativ hochwertigen Vorbereitung auf Aufnahmeprüfungen im Bereich der Lösung von Problemen der Schulgeometrie können Sie Lehrmittel effektiv einsetzen, in der Liste der empfohlenen Lektüre aufgeführt.
1. Gotman E.G. Planimetrieprobleme und Methoden zu ihrer Lösung. - M.: Bildung, 1996.-- 240 p.
2. Kulagin E.D. , Fedin S. N. Geometrie eines Dreiecks in Problemen. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2009 .-- 208 S.
3. Aufgabensammlung Mathematik für Fachhochschul-Bewerber / Ed. M. I. Skanavi. - M.: Frieden und Bildung, 2013 .-- 608 S.
4. Surun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: zusätzliche Abschnitte des Lehrplans. - M.: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 S.
Sie haben noch Fragen?
Um Hilfe von einem Tutor zu bekommen -.
blog.site, bei vollständiger oder teilweiser Kopie des Materials ist ein Link zur Quelle erforderlich.
Fähigkeit zum mathematischen Denken - eine der edelsten menschlichen Fähigkeiten.
irischer Dramatiker Bernard Shaw
Reiher-Formel
In der Schulmathematik ist die Heron-Formel sehr beliebt, mit deren Anwendung Sie die Fläche eines Dreiecks entlang seiner drei Seiten berechnen können. Gleichzeitig wissen nur wenige Schüler, dass es eine ähnliche Formel zur Berechnung der Fläche von in einen Kreis eingeschriebenen Vierecken gibt. Eine solche Formel wird Brahmagupta-Formel genannt. Es gibt auch eine wenig bekannte Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch seine drei Höhen, deren Ableitung aus der Herons-Formel folgt.
Berechnen der Fläche von Dreiecken
Lassen Sie ein Dreieck ein Partys und ... Dann ist der folgende Satz wahr (Herons Formel).
Satz 1.
wo .
Nachweisen. Bei der Ableitung von Formel (1) verwenden wir die bekannten Geome tric Formeln
, (2)
. (3)
Aus den Formeln (2) und (3) erhalten wir und. Seit damals
. (4)
Wenn wir bezeichnen dann impliziert Gleichheit (4) Formel (1). Der Satz ist bewiesen.
Betrachten wir nun die Frage der Berechnung der Fläche eines Dreiecks bereitgestellt , dass ihre drei Höhen bekannt sind, und .
Satz 2. Die Fläche wird nach der Formel berechnet
. (5)
Nachweisen. Seitdem und dann
In diesem Fall erhalten wir aus Formel (1)
oder
Dies impliziert Formel (5). Der Satz ist bewiesen.
Berechnen der Fläche der Vierecke
Betrachten Sie eine Verallgemeinerung der Heron-Formel auf den Fall der Berechnung der Fläche von Vierecken. Es sei jedoch gleich darauf hingewiesen, dass eine solche Verallgemeinerung nur für in einen Kreis einbeschriebene Vierecke möglich ist.
Lass das Viereck hat Seiten, und.
Wenn ist ein Viereck, in einen Kreis eingeschrieben, dann gilt Satz 3 (Brahmaguptas Formel).
Satz 3. Platz berechnet nach der Formel
wo .
Nachweisen. Zeichne eine Diagonale in das Viereck und erhalte zwei Dreiecke und. Wenden wir auf diese Dreiecke den Kosinussatz an, der der Formel (3) entspricht, dann können wir schreiben:
Da das Viereck in einen Kreis einbeschrieben ist, ist die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich, d.h. ...
Da oder, dann erhalten wir aus (7)
Oder
. (8)
Seit damals. Allerdings und deshalb
Denn aus den Formeln (8) und (9) folgt
Wenn wir setzen, dann erhalten wir daraus Formel (6). Der Satz ist bewiesen.
Wenn das eingeschriebene Viereckist beides beschrieben, dann wird Formel (6) stark vereinfacht.
Satz 4. Die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis eingeschrieben und um einen anderen umschrieben ist, wird nach der Formel berechnet
. (10)
Nachweisen. Da ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben ist, gelten die Gleichungen
In diesem Fall lässt sich Formel (6) leicht in Formel (10) umwandeln. Der Satz ist bewiesen.
Betrachten wir nun Beispiele für Geometrieprobleme, deren Lösung auf der Grundlage der Anwendung der bewiesenen Theoreme erfolgt.
Beispiele für Problemlösungen
Beispiel 1. Bereich suchen, wenn .
Lösung. Da hier nach Satz 1 gilt
Antworten: .
Notiz, wenn die Seiten des Dreiecksirrationale Bedeutungen annehmen, dann seine Fläche berechnenunter Verwendung von Formel (1), allgemein , ist unwirksam. In diesem Fall empfiehlt es sich, die Formeln (2) und (3) direkt anzuwenden.
Beispiel 2. Finden Sie den Bereich, wenn, und.
Lösung. Unter Berücksichtigung der Formeln (2) und (3) erhalten wir
Da, dann bzw.
Antworten: .
Beispiel 3. Finden Sie den Bereich, wenn, und.
Lösung. Soweit,
dann folgt aus Satz 2 dass.
Antworten: .
Beispiel 4. Das Dreieck hat Seiten, und. Finden Sie und, wo sind die Radien des Umkreises bzw. des Innenkreises.
Lösung. Berechnen wir zunächst die Fläche. Denn dann erhalten wir aus Formel (1).
Es ist bekannt, dass und. Deshalb .
Beispiel 5. Finden Sie die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, wenn, und.
Lösung. Das folgt aus den Bedingungen des Beispiels. Dann erhalten wir nach Satz 3 .
Beispiel 6. Finden Sie die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks, dessen Seiten sind, und.
Lösung. Da und gilt Gleichheit im Viereck. Es ist jedoch bekannt, dass die Existenz einer solchen Gleichheit eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein Kreis in ein gegebenes Viereck eingeschrieben wird. In diesem Zusammenhang können Sie zur Berechnung der Fläche die Formel (10) verwenden, aus der sie folgt.
Zur selbstständigen und qualitativ hochwertigen Vorbereitung auf Aufnahmeprüfungen im Bereich der Lösung von Problemen der Schulgeometrie können Sie Lehrmittel effektiv einsetzen, in der Liste der empfohlenen Lektüre aufgeführt.
1. Gotman E.G. Planimetrieprobleme und Methoden zu ihrer Lösung. - M.: Bildung, 1996.-- 240 p.
2. Kulagin E.D. , Fedin S. N. Geometrie eines Dreiecks in Problemen. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2009 .-- 208 S.
3. Aufgabensammlung Mathematik für Fachhochschul-Bewerber / Ed. M. I. Skanavi. - M.: Frieden und Bildung, 2013 .-- 608 S.
4. Surun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: zusätzliche Abschnitte des Lehrplans. - M.: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 S.
Sie haben noch Fragen?
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Mit dieser Formel können Sie die Fläche eines Dreiecks entlang seiner Seiten a, b und c berechnen:
S = (p (p-a) (p-b) (p-c),wobei p der Halbumfang des Dreiecks ist, d.h. p = (a + b + c) / 2.
Die Formel ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Heron von Alexandria (um das 1. Jahrhundert) benannt. Heron betrachtet Dreiecke mit ganzzahligen Seiten, deren Flächen ebenfalls ganzzahlig sind. Solche Dreiecke werden Geron-Dreiecke genannt. Dies sind zum Beispiel Dreiecke mit den Seiten 13, 14, 15 oder 51, 52, 53.
Es gibt Analoga von Herons Formel für Vierecke. Aufgrund der Tatsache, dass das Problem, ein Viereck entlang seiner Seiten a, b, c und d zu konstruieren, mehr als eine eindeutige Lösung hat, reicht es nicht aus, im allgemeinen Fall die Fläche eines Vierecks zu berechnen, nur die Längen zu kennen der Seiten. Sie müssen zusätzliche Parameter einführen oder Einschränkungen auferlegen. Zum Beispiel wird die Fläche eines eingeschriebenen Vierecks durch die Formel ermittelt: S = √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Wenn das Viereck gleichzeitig einbeschrieben und umschrieben ist, ist seine Fläche durch eine einfachere Formel: S = √ (abcd).
Reiher von Alexandria - Griechischer Mathematiker und Mechaniker.
Er war der erste, der automatische Türen, ein automatisches Puppentheater, einen Verkaufsautomaten, eine Schnellfeuer-Selbstladearmbrust, eine Dampfturbine, automatische Dekorationen, ein Gerät zur Messung der Länge von Straßen (alter Kilometerzähler) usw. erfand war der erste, der programmierbare Geräte (eine Welle mit Stiften mit einem Seil) entwickelte.
Er beschäftigte sich mit Geometrie, Mechanik, Hydrostatik, Optik. Hauptwerke: Metrica, Pneumatik, Automatopoetik, Mechanik (das Werk ist vollständig in arabischer Übersetzung erhalten), Catoptrika (die Wissenschaft der Spiegel; nur in lateinischer Übersetzung erhalten) usw. Landvermessung, tatsächlich basierend auf der Verwendung von rechteckigen Koordinaten. Heron nutzte die Errungenschaften seiner Vorgänger: Euklid, Archimedes, Straton von Lampsac. Viele seiner Bücher sind unwiederbringlich verloren (die Rollen wurden in der Bibliothek von Alexandria aufbewahrt).
In der Abhandlung "Mechanik" beschrieb Heron fünf Arten der einfachsten Maschinen: Hebel, Tor, Keil, Schraube und Block.
In der Abhandlung "Pneumatik" beschrieb Heron verschiedene Siphons, raffiniert angeordnete Gefäße, Automaten, die mit Druckluft oder Dampf angetrieben werden. Dies ist Eolipil, die erste Dampfturbine - eine Kugel, die durch die Kraft von Wasserdampfstrahlen gedreht wird; Türöffner, Weihwasserautomat, Feuerlöschpumpe, Wasserorgel, mechanisches Puppentheater.
Das Buch "On the Diopter" beschreibt den Dioptrien - das einfachste Gerät für geodätische Arbeiten. Geron legt in seiner Abhandlung die Regeln für die Landvermessung auf der Grundlage der Verwendung von rechtwinkligen Koordinaten fest.
In "Catoptrik" belegt Heron die Geradlinigkeit von Lichtstrahlen durch die unendlich hohe Geschwindigkeit ihrer Ausbreitung. Heron untersucht verschiedene Arten von Spiegeln, mit besonderem Augenmerk auf zylindrische Spiegel.
Herons "Metric" und die daraus extrahierten "Geometrics" und "Stereometrics" sind Nachschlagewerke der angewandten Mathematik. Unter den in der "Metrik" enthaltenen Informationen:
Formeln für die Flächen regelmäßiger Polygone.
Volumen regelmäßiger Polyeder, Pyramide, Kegel, Kegelstumpf, Torus, Kugelsegment.
Heronsche Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch die Längen seiner Seiten (entdeckt von Archimedes).
Regeln für die numerische Lösung quadratischer Gleichungen.
Algorithmen zum Extrahieren von Quadrat- und Kubikwurzeln.
Herons Buch "Definitionen" ist eine umfangreiche Sammlung geometrischer Definitionen, die größtenteils mit den Definitionen von Euklids "Prinzipien" übereinstimmen.
Reiher-Formel Gerona-Formel
drückt den Bereich aus S ein Dreieck durch die Längen seiner drei Seiten ein, B und Mit und Halbperimeter R = (ein + B + Mit) / 2:. Benannt nach Heron von Alexandria.
HERONA-FORMELHERONA FORMULA, drückt den Bereich aus S ein Dreieck durch die Längen seiner drei Seiten ein, B und C und Halbperimeter P = (ein + B + C)/2
Benannt nach Heron von Alexandria.
enzyklopädisches Wörterbuch. 2009 .
Sehen Sie, was "Heronas Formel" in anderen Wörterbüchern ist:
Drückt die Fläche S eines Dreiecks durch die Längen seiner drei Seiten a, b und c und den Halbumfang P = (a + b + c) / 2 aus Benannt nach Heron von Alexandria ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch
Formel, die die Fläche eines Dreiecks durch seine drei Seiten ausdrückt. Nämlich, wenn a, b, mit den Längen der Seiten des Dreiecks und S seine Fläche ist, dann G. f. hat die Form: wobei p den Halbumfang des Dreiecks des G bezeichnet. f. ... ...
Formel, die die Fläche eines Dreiecks durch seine Seiten a, b, c ausdrückt: wobei nach Heron benannt (ca. 1. Jahrhundert n. Chr.), A. B. Ivanov ... Enzyklopädie der Mathematik
Drückt die Fläche 5 eines Dreiecks durch die Längen seiner drei Seiten a, b und c und den Halbumfang p = (a + b + c) / 2: s = sq aus. Wurzel p (p a) (p b) (p c). Benannt nach dem Helden von Alexandria ... Naturwissenschaft. enzyklopädisches Wörterbuch
- ... Wikipedia
Ermöglicht die Berechnung der Fläche eines Dreiecks (S) an seinen Seiten a, b, c: wobei p der Dreieckshalbumfang ist:. Beweis, wo der Winkel des Dreiecks ist ... Wikipedia
Drückt die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks als Funktion der Längen seiner Seiten aus. Wenn ein eingeschriebenes Viereck Seitenlängen und einen Halbumfang hat, dann ist seine Fläche ... Wikipedia
In diesem Artikel fehlen Links zu Informationsquellen. Informationen müssen überprüfbar sein, sonst können sie in Frage gestellt und entfernt werden. Sie können diesen Artikel bearbeiten, indem Sie Links zu maßgeblichen Quellen hinzufügen. Dieses Zeichen ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (Geburts- und Sterbejahr unbekannt, wahrscheinlich 1. Jahrhundert), ein altgriechischer Wissenschaftler, der in Alexandria arbeitete. Der Autor von Werken, in denen er systematisch die wichtigsten Errungenschaften der Antike auf dem Gebiet der angewandten Mechanik skizzierte, In ... ... Große sowjetische Enzyklopädie
Alexandrian (Heronus Alexandrinus) (Geburts- und Sterbejahr unbekannt, wahrscheinlich 1. Jahrhundert), ein altgriechischer Wissenschaftler, der in Alexandria arbeitete. Der Autor von Werken, in denen er systematisch die wichtigsten Errungenschaften der Antike auf dem Gebiet der ... ... Große sowjetische Enzyklopädie
