Abilitatea de a gândi matematic - una dintre cele mai nobile abilități umane.
Dramaturgul irlandez Bernard Shaw
Formula lui Heron
În matematica școlară, formula lui Heron este foarte populară, a cărei aplicare vă permite să calculați aria unui triunghi de-a lungul celor trei laturi ale sale. În același timp, puțini dintre studenți știu că există o formulă similară pentru calcularea ariei patrulaterelor înscrise într-un cerc. O astfel de formulă se numește formula Brahmagupta. Există, de asemenea, o formulă puțin cunoscută pentru calcularea ariei unui triunghi după cele trei înălțimi ale sale, a cărei derivare rezultă din formula lui Heron.
Calcularea ariei triunghiurilor
Lăsați un triunghi petreceri, și ... Atunci următoarea teoremă este adevărată (formula lui Heron).
Teorema 1.
Unde .
Dovada. La derivarea formulei (1), vom folosi binecunoscutele geome formule tric
, (2)
. (3)
Din formulele (2) și (3) obținem și. De atunci
. (4)
Dacă notăm atunci egalitatea (4) implică formula (1). Teorema este demonstrată.
Să luăm acum în considerare problema calculării ariei unui triunghi furnizat, că cele trei înălțimi ale ei sunt cunoscute, și .
Teorema 2. Aria se calculează cu formula
. (5)
Dovada. De când, și, atunci
În acest caz, din formula (1) obținem
sau
Aceasta implică formula (5). Teorema este demonstrată.
Calcularea ariei patrulaterelor
Luați în considerare o generalizare a formulei lui Heron în cazul calculării ariei patrulagurilor. Cu toate acestea, trebuie remarcat imediat că o astfel de generalizare este posibilă numai pentru patrulatere care sunt înscrise într-un cerc.
Lasă patrulaterul are laturi,, și.
Dacă este un patrulater, înscris într-un cerc, atunci Teorema 3 (formula lui Brahmagupta) este valabilă.
Teorema 3. Pătrat calculate prin formula
Unde .
Dovada. Desenați o diagonală în patrulater și obțineți două triunghiuri și. Dacă aplicăm acestor triunghiuri teorema cosinusului, care este echivalentă cu formula (3), atunci putem scrie
Deoarece patrulaterul este înscris într-un cerc, suma unghiurilor sale opuse este egală, adică. ...
Din moment ce sau, apoi din (7) obţinem
Sau
. (8)
De atunci. Totuși, și deci
Deoarece, atunci din formulele (8) și (9) rezultă
Dacă punem, apoi din aceasta obținem formula (6). Teorema este demonstrată.
Dacă patrulaterul înscriseste ambele descrise, atunci formula (6) este mult simplificată.
Teorema 4. Aria unui patrulater înscris într-un cerc și circumscris în jurul altuia se calculează prin formula
. (10)
Dovada. Deoarece un cerc este înscris într-un patrulater, egalitățile sunt valabile
În acest caz,,,, iar formula (6) este ușor de transformat în formula (10). Teorema este demonstrată.
Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de probleme de geometrie, a cărui rezolvare se realizează pe baza aplicării teoremelor demonstrate.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Găsiți zonă, dacă .
Soluţie.Întrucât aici, conform teoremei 1, obținem
Răspuns: .
Notă, dacă laturile triunghiuluiia înțelesuri iraționale, calculându-i apoi ariafolosind formula (1), de obicei , este ineficient. În acest caz, este indicat să aplicați direct formulele (2) și (3).
Exemplul 2. Găsiți zona, dacă și.
Soluţie.Ținând cont de formulele (2) și (3), obținem
De când, atunci sau.
Răspuns: .
Exemplul 3. Găsiți zona, dacă și.
Soluţie.În măsura în care ,
atunci din teorema 2 rezultă că.
Răspuns: .
Exemplul 4. Triunghiul are laturi și. Găsiți și, unde sunt razele cercului circumferitor și, respectiv, cercului interior.
Soluţie. Să calculăm mai întâi aria. Deoarece, atunci din formula (1) obținem.
Se știe că și. De aceea .
Exemplul 5. Aflați aria unui patrulater înscris într-un cerc, dacă, și.
Soluţie. Din condiţiile exemplului rezultă că. Apoi, conform teoremei 3, obținem.
Exemplul 6. Găsiți aria unui patrulater înscris într-un cerc, ale cărui laturi sunt, și.
Soluţie. Deoarece și, egalitatea este valabilă în patrulater. Cu toate acestea, se știe că existența unei asemenea egalități este o condiție necesară și suficientă pentru ca un cerc să fie înscris într-un patrulater dat. În acest sens, pentru a calcula suprafața, puteți folosi formula (10), din care rezultă.
Pentru pregătirea independentă și de înaltă calitate pentru examenele de admitere în domeniul rezolvării problemelor de geometrie școlară, puteți utiliza în mod eficient mijloacele didactice, enumerate în lista de lecturi recomandate.
1. Gotman E.G. Probleme de planimetrie și metode de rezolvare a acestora. - M .: Educaţie, 1996 .-- 240 p.
2. Kulagin E. D. , Fedin S.N. Geometria unui triunghi în probleme. - M .: KD "Librokom" / URSS, 2009 .-- 208 p.
3. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegiile tehnice / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Pace și Educație, 2013 .-- 608 p.
4. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Abilitatea de a gândi matematic - una dintre cele mai nobile abilități umane.
Dramaturgul irlandez Bernard Shaw
Formula lui Heron
În matematica școlară, formula lui Heron este foarte populară, a cărei aplicare vă permite să calculați aria unui triunghi de-a lungul celor trei laturi ale sale. În același timp, puțini dintre studenți știu că există o formulă similară pentru calcularea ariei patrulaterelor înscrise într-un cerc. O astfel de formulă se numește formula Brahmagupta. Există, de asemenea, o formulă puțin cunoscută pentru calcularea ariei unui triunghi după cele trei înălțimi ale sale, a cărei derivare rezultă din formula lui Heron.
Calcularea ariei triunghiurilor
Lăsați un triunghi petreceri, și ... Atunci următoarea teoremă este adevărată (formula lui Heron).
Teorema 1.
Unde .
Dovada. La derivarea formulei (1), vom folosi binecunoscutele geome formule tric
, (2)
. (3)
Din formulele (2) și (3) obținem și. De atunci
. (4)
Dacă notăm atunci egalitatea (4) implică formula (1). Teorema este demonstrată.
Să luăm acum în considerare problema calculării ariei unui triunghi furnizat, că cele trei înălțimi ale ei sunt cunoscute, și .
Teorema 2. Aria se calculează cu formula
. (5)
Dovada. De când, și, atunci
În acest caz, din formula (1) obținem
sau
Aceasta implică formula (5). Teorema este demonstrată.
Calcularea ariei patrulaterelor
Luați în considerare o generalizare a formulei lui Heron în cazul calculării ariei patrulagurilor. Cu toate acestea, trebuie remarcat imediat că o astfel de generalizare este posibilă numai pentru patrulatere care sunt înscrise într-un cerc.
Lasă patrulaterul are laturi,, și.
Dacă este un patrulater, înscris într-un cerc, atunci Teorema 3 (formula lui Brahmagupta) este valabilă.
Teorema 3. Pătrat calculate prin formula
Unde .
Dovada. Desenați o diagonală în patrulater și obțineți două triunghiuri și. Dacă aplicăm acestor triunghiuri teorema cosinusului, care este echivalentă cu formula (3), atunci putem scrie
Deoarece patrulaterul este înscris într-un cerc, suma unghiurilor sale opuse este egală, adică. ...
Din moment ce sau, apoi din (7) obţinem
Sau
. (8)
De atunci. Totuși, și deci
Deoarece, atunci din formulele (8) și (9) rezultă
Dacă punem, apoi din aceasta obținem formula (6). Teorema este demonstrată.
Dacă patrulaterul înscriseste ambele descrise, atunci formula (6) este mult simplificată.
Teorema 4. Aria unui patrulater înscris într-un cerc și circumscris în jurul altuia se calculează prin formula
. (10)
Dovada. Deoarece un cerc este înscris într-un patrulater, egalitățile sunt valabile
În acest caz,,,, iar formula (6) este ușor de transformat în formula (10). Teorema este demonstrată.
Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de probleme de geometrie, a cărui rezolvare se realizează pe baza aplicării teoremelor demonstrate.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Găsiți zonă, dacă .
Soluţie.Întrucât aici, conform teoremei 1, obținem
Răspuns: .
Notă, dacă laturile triunghiuluiia înțelesuri iraționale, calculându-i apoi ariafolosind formula (1), de obicei , este ineficient. În acest caz, este indicat să aplicați direct formulele (2) și (3).
Exemplul 2. Găsiți zona, dacă și.
Soluţie.Ținând cont de formulele (2) și (3), obținem
De când, atunci sau.
Răspuns: .
Exemplul 3. Găsiți zona, dacă și.
Soluţie.În măsura în care ,
atunci din teorema 2 rezultă că.
Răspuns: .
Exemplul 4. Triunghiul are laturi și. Găsiți și, unde sunt razele cercului circumferitor și, respectiv, cercului interior.
Soluţie. Să calculăm mai întâi aria. Deoarece, atunci din formula (1) obținem.
Se știe că și. De aceea .
Exemplul 5. Aflați aria unui patrulater înscris într-un cerc, dacă, și.
Soluţie. Din condiţiile exemplului rezultă că. Apoi, conform teoremei 3, obținem.
Exemplul 6. Găsiți aria unui patrulater înscris într-un cerc, ale cărui laturi sunt, și.
Soluţie. Deoarece și, egalitatea este valabilă în patrulater. Cu toate acestea, se știe că existența unei asemenea egalități este o condiție necesară și suficientă pentru ca un cerc să fie înscris într-un patrulater dat. În acest sens, pentru a calcula suprafața, puteți folosi formula (10), din care rezultă.
Pentru pregătirea independentă și de înaltă calitate pentru examenele de admitere în domeniul rezolvării problemelor de geometrie școlară, puteți utiliza în mod eficient mijloacele didactice, enumerate în lista de lecturi recomandate.
1. Gotman E.G. Probleme de planimetrie și metode de rezolvare a acestora. - M .: Educaţie, 1996 .-- 240 p.
2. Kulagin E. D. , Fedin S.N. Geometria unui triunghi în probleme. - M .: KD "Librokom" / URSS, 2009 .-- 208 p.
3. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegiile tehnice / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Pace și Educație, 2013 .-- 608 p.
4. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Această formulă vă permite să calculați aria unui triunghi de-a lungul laturilor sale a, b și c:
S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c),unde p este semiperimetrul triunghiului, i.e. p = (a + b + c) / 2.
Formula este numită după matematicianul grec antic Heron din Alexandria (în jurul secolului I). Heron a considerat triunghiuri cu laturile întregi, ale căror zone sunt, de asemenea, numere întregi. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri geron. De exemplu, acestea sunt triunghiuri cu laturile 13, 14, 15 sau 51, 52, 53.
Există analogi ai formulei lui Heron pentru patrulatere. Datorită faptului că problema construirii unui patrulater de-a lungul laturilor sale a, b, c și d are mai mult decât o soluție unică, pentru a calcula în cazul general aria unui patrulater nu este suficient să cunoaștem lungimile a laturilor. Trebuie să introduceți parametri suplimentari sau să impuneți restricții. De exemplu, aria unui patrulater înscris se găsește prin formula: S = √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Dacă patrulaterul este înscris și circumscris în același timp, aria lui este printr-o formulă mai simplă: S = √ (abcd).
Stârcul Alexandriei - matematician și mecanic grec.
El a fost primul care a inventat uși automate, un teatru automat de păpuși, un automat de vânzări, o arbaletă cu autoîncărcare cu foc rapid, o turbină cu abur, decorațiuni automate, un dispozitiv de măsurare a lungimii drumurilor (odometru antic) etc. a fost primul care a creat dispozitive programabile (un arbore cu știfturi cu o frânghie).
S-a angajat în geometrie, mecanică, hidrostatică, optică. Lucrări majore: Metrica, Pneumatică, Automatopoetică, Mecanică (lucrarea se păstrează în întregime în traducere arabă), Catoptrika (știința oglinzilor; păstrată doar în traducere latină), etc., ridicarea terenului, bazată de fapt pe folosirea dreptunghiulară. coordonatele. Heron a folosit realizările predecesorilor săi: Euclid, Arhimede, Straton de Lampsac. Multe dintre cărțile sale sunt pierdute iremediabil (sulele au fost păstrate în Biblioteca din Alexandria).
În tratatul „Mecanică”, Heron a descris cinci tipuri de mașini simple: pârghie, poartă, pană, șurub și bloc.
În tratatul „Pneumatică” Heron a descris diverse sifoane, vase aranjate ingenios, automate, antrenate de aer comprimat sau abur. Acesta este eolipilul, care a fost prima turbină cu abur - o bilă rotită de forța jeturilor de vapori de apă; deschizător de uși, automat de apă sfințită, pompă de incendiu, orgă cu apă, teatru de păpuși mecanic.
Cartea „Despre dioptrie” descrie dioptria - cel mai simplu dispozitiv folosit pentru lucrări geodezice. Geron stabilește în tratatul său regulile de topografie bazată pe utilizarea coordonatelor dreptunghiulare.
În „Catoptrik” Heron justifică dreptatea razelor luminoase prin viteza infinit de mare a propagării lor. Heron examinează diferite tipuri de oglinzi, acordând o atenție deosebită oglinzilor cilindrice.
„Metrica” lui Heron și „Geometria” și „Stereometria” extrase din ea sunt cărți de referință despre matematică aplicată. Printre informațiile conținute în „Metrica”:
Formule pentru ariile poligoanelor regulate.
Volume de poliedre regulate, piramidă, con, trunchi de con, tor, segment sferic.
Formula lui Heron pentru calcularea ariei unui triunghi după lungimile laturilor sale (descoperită de Arhimede).
Reguli pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor pătratice.
Algoritmi pentru extragerea rădăcinilor pătrate și cubice.
Cartea lui Heron „Definiții” este o colecție extinsă de definiții geometrice, în cea mai mare parte coincid cu definițiile „Principiilor” ale lui Euclid.
Formula lui Heron Formula Gerona
exprimă zonă s un triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale A, bși Cu si semiperimetrul R = (A + b + Cu) / 2:. Numit după Heron din Alexandria.
FORMULA HERONAFORMULA HERONA, zona exprima S un triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale A, bși c si semiperimetrul P = (A + b + c)/2
Numit după Heron din Alexandria.
Dicţionar enciclopedic. 2009 .
Vedeți care este „formula lui Herona” în alte dicționare:
Exprimă aria S a unui triunghi în funcție de lungimile celor trei laturi ale sale a, b și c și semiperimetrul P = (a + b + c) / 2 Numit după Heron din Alexandria... Dicţionar enciclopedic mare
Formula care exprimă aria unui triunghi prin cele trei laturi ale sale. Și anume, dacă a, b, cu lungimile laturilor triunghiului și S este aria sa, atunci G. f. are forma: unde p desemnează semiperimetrul triunghiului G. f. ... ...
Formula care exprimă aria unui triunghi prin laturile sale a, b, c: unde este numit pentru Heron (c. secolul I d.Hr.), A.B. Ivanov ... Enciclopedia de matematică
Exprimă aria 5 a unui triunghi în funcție de lungimile celor trei laturi ale sale a, b și c și semiperimetrul p = (a + b + c) / 2: s = sq. rădăcină p (p a) (p b) (p c). Numit după Eroul Alexandriei... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
- ... Wikipedia
Vă permite să calculați aria unui triunghi (S) după laturile sale a, b, c: unde p este semiperimetrul triunghiului:. Dovada unde unghiul triunghiului este ... Wikipedia
Exprimă aria unui patrulater înscris într-un cerc în funcție de lungimile laturilor sale. Dacă un patrulater înscris are lungimi de laturi și un semiperimetru, atunci aria lui este ... Wikipedia
În acest articol lipsesc link-uri către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și eliminate. Puteți edita acest articol adăugând link-uri către surse autorizate. Acest marcaj ...... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (ani de naștere și de moarte necunoscuți, probabil secolul I), un om de știință grec antic care a lucrat în Alexandria. Autorul unor lucrări în care a conturat sistematic principalele realizări ale lumii antice în domeniul mecanicii aplicate, În ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Alexandrian (Heronus Alexandrinus) (ani de naștere și de moarte necunoscuți, probabil secolul I), un om de știință grec antic care a lucrat în Alexandria. Autorul unor lucrări în care a conturat sistematic principalele realizări ale lumii antice în domeniul ...... Marea Enciclopedie Sovietică
